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高中單擺周期公式推導(dǎo)
高中單擺周期公式推導(dǎo)
提問者: Zealous  提問時(shí)間: 2024-07-04    
 
精選答案:
單擺是一種簡單的物理系統(tǒng),由一根輕質(zhì)、不彈性的線和一個(gè)質(zhì)量塊組成。當(dāng)質(zhì)量塊被抬起一定角度后,會(huì)沿著一個(gè)圓弧運(yùn)動(dòng),形成單擺的運(yùn)動(dòng)。單擺的周期是指振動(dòng)一次所需要的時(shí)間,可以通過以下公式進(jìn)行計(jì)算:
T = 2π√(L/g)
其中,T是周期,L是單擺的長度,g是重力加速度。這個(gè)公式是由物理學(xué)家Christian Huygens在17世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的。
下面是這個(gè)公式的推導(dǎo)過程:
首先,我們需要知道單擺的運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)單擺被拉開一定角度后,它會(huì)沿著一個(gè)圓弧振動(dòng)。在任意時(shí)刻,單擺的振動(dòng)角度θ與水平方向的夾角為α,如下圖所示:
根據(jù)牛頓第二定律和牛頓萬有引力定律,可以得到單擺的運(yùn)動(dòng)方程:
mLθ' = -mg sinθ
其中,m是單擺的質(zhì)量,L是單擺的長度,θ是單擺的振動(dòng)角度,g是重力加速度。引入一個(gè)小角度假設(shè),即sinθ ≈ θ,可以將運(yùn)動(dòng)方程簡化為:
θ' + (g/L)θ = 0
這是一個(gè)二階常微分方程,可以通過解特征方程來求解。設(shè)θ = A sin(ωt + φ)為單擺的解析解,代入上面的運(yùn)動(dòng)方程可以得到:
ω = √(g/L)
因此,單擺的周期為:
T = 2π/ω = 2π√(L/g)
這就是單擺的周期公式。
回答者: Zyquarius    回答時(shí)間:2024-07-04    
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