保守?cái)U(kuò)展

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·補(bǔ)充說(shuō)明





   保守?cái)U(kuò)展是邏輯中的一個(gè)概念。一個(gè)知識(shí)庫(kù)K&＃39;&＃39;是是K的擴(kuò)展，如果K是K&＃39;&＃39;的一個(gè)子集；K&＃39;&＃39;是是K的保守?cái)U(kuò)展，如果對(duì)所有只用K中的名字構(gòu)造的命題α, K&＃39;&＃39; 當(dāng)且僅當(dāng) K。換句話說(shuō)，保守?cái)U(kuò)展不會(huì)改變?cè)�有的知識(shí)庫(kù)的結(jié)構(gòu)。保守?cái)U(kuò)展在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，如模塊化本體和敏感知識(shí)的保護(hù)。
在邏輯和推導(dǎo)機(jī)制中，I和J分別是一個(gè)解釋(Interpretation),如果J是I的保守?cái)U(kuò)展，必須滿足以下條件:

1) 解釋I作用在語(yǔ)言集合L中，解釋J必須作用在語(yǔ)言集合L&＃39;&＃39;中,并且L&＃39;&＃39;包含L
2) 解釋I的域(Domain)等于解釋J的域
3) 對(duì)于任何在語(yǔ)言集合L中的元素e，I(e) = J(e)

那么我們說(shuō)J是I的保守?cái)U(kuò)展。


補(bǔ)充說(shuō)明

在邏輯語(yǔ)言語(yǔ)法(Syntax)中

一個(gè)語(yǔ)言集合的組成元素:

1) 常數(shù)符號(hào)a,b,c,d,........
2) 函數(shù)符號(hào)f,g,...... 并且每個(gè)函數(shù)符號(hào)標(biāo)有所帶參數(shù)的個(gè)數(shù) 注意當(dāng)函數(shù)f不帶有參數(shù)時(shí) 這時(shí)就變成了一個(gè)常數(shù)符號(hào)
3）命題邏輯符號(hào) P,Q,(或p,q)........
4) 謂詞關(guān)系邏輯符號(hào) P,Q（或p,q）,........ 并且每個(gè)謂詞標(biāo)有所帶參數(shù)的個(gè)數(shù) 注意當(dāng)謂詞關(guān)系邏輯符號(hào)P不帶有參數(shù)時(shí)，就變成命題邏輯符號(hào) P



這里的參數(shù)在邏輯語(yǔ)言中叫做項(xiàng)(Term) (項(xiàng)是一個(gè)最小有限集合)

一個(gè)項(xiàng)可以是:

1) 一個(gè)變量符號(hào)(通常我們用小寫字母x,y,z等表達(dá)) 比如 x,y,z,x1,x2,x3,..........
2) 一個(gè)常數(shù)符號(hào)(通常我們用小寫字母a,b,c,d等表達(dá)) 比如 a,b,c,d,a1,b1,c3,...........
3) 一個(gè)函數(shù)符號(hào)并且該函數(shù)標(biāo)有所帶參數(shù)(通常我們用小寫字母f,g,q等表達(dá)） f(t1,t2,t3,......tn),其中所帶的參數(shù)t1,t2,.......,tn也是由項(xiàng)組成



他是最小的有限的集合,換句話說(shuō)一個(gè)項(xiàng)是一個(gè)有限樹，他的葉子個(gè)數(shù)是有限的 比如 f(x,b,f(y,c,g(z))) 他是一個(gè)項(xiàng) 其中 x,y,z是變量，b,c是常數(shù)，f,g是函數(shù)符號(hào)

f
|
x b f
|
y c g
|
z

但是 比如 如果函數(shù)f的項(xiàng)是f自己本身,這時(shí)候就不是項(xiàng)了，因?yàn)橐粋�(gè)項(xiàng)必須是一個(gè)有限樹(如上圖所示) 而此時(shí)的情況就變成了一個(gè)無(wú)限表達(dá) f(f(f(f(f(f(f(f.......)))))))，就不符合最小有限集合的定義
在項(xiàng)(Term)的基礎(chǔ)上我們構(gòu)筑式子集合(Set of Formula) 式子集合也是一個(gè)最小有限集合,這樣定義也是避免一個(gè)式子的無(wú)限性表達(dá)，避免如同上面的例子

一個(gè)基于一個(gè)語(yǔ)言集合L的式子(記作L-formula)可以是:

1) ⊥ （永假符號(hào)） 是一個(gè)式子 (永假的含義是一個(gè)式子在任何解釋中，永遠(yuǎn)是假命題，我們記作⊥

比如 P(x)∧?P(x) 在任何解釋I中,該命題永遠(yuǎn)是假命題，注意，前提中解釋I必須有一個(gè)非空解釋域


2) T (永真符號(hào)) 是一個(gè)式子 （解釋如上，永真表示一個(gè)式子永遠(yuǎn)是真命題）
3) 如果P表示一個(gè)命題符號(hào)，那么P就是一個(gè)式子
4) 如果P表示一個(gè)謂詞關(guān)系符號(hào)，并且他帶有n個(gè)參數(shù)(也就是帶有n個(gè)項(xiàng)Term)，那么 P(t1,t2,t3,......,tn)是一個(gè)式子,其中t1,......,tn是n個(gè)項(xiàng)
5) 如果φ是一個(gè)式子，那么?φ也是一個(gè)式子
6) 如果φ和ψ都是式子，那么φ*ψ也是式子，其中*符號(hào)表示∧(conjonction),∨(disjonction),?(equivalence),?(implication) 符號(hào)中的任何一種
7) 如果φ是一個(gè)式子，x是一個(gè)變量，那么(?x)φ是一個(gè)式子

?表示存在量詞符號(hào) 比如 (?x) (P(x)∧P(y)) 含義是至少存在一個(gè)變量x的值在式子(P(x)∧P(y))中起作用 注意到x是φ的約束變量,y是φ的自由變量


8) 如果φ是一個(gè)式子，x是一個(gè)變量，那么(?x)φ是一個(gè)式子

?表示所有量詞符號(hào) 比如 (?x) (P(x)∧P(y)) 含義是對(duì)所有變量x的值在式子(P(x)∧P(y))中起作用


9) *如果t1和t2是兩個(gè)項(xiàng)，那么t1=t2是式子 (由于要涉及處理相等問(wèn)題的原則和公理，所以這里的所有式子不涉及t1=t2情況)





幾個(gè)注意點(diǎn)

一個(gè)變量x叫做φ式子的約束變量,當(dāng)有存在量詞或所有量詞在φ給于限定變量x,反之叫做自由變量
注意存在量詞符號(hào)或所有量詞符號(hào)的作用域

比如 φ = (?x p(x))∨q(x) 此時(shí)存在量詞僅作用于p(x),不作用于q(x),p(x)中的x是約束變量，q(x)的x是自由變量






以上的簡(jiǎn)單語(yǔ)法規(guī)則構(gòu)筑了一階邏輯，我們之所以要通過(guò)以上的語(yǔ)法規(guī)則構(gòu)筑的式子，是想知道是否我們構(gòu)筑的式子是否有意思或有意思，在邏輯語(yǔ)法(Syntax)中我們無(wú)法解釋，因此我們必須通過(guò)邏輯語(yǔ)言語(yǔ)義(Semantic)來(lái)說(shuō)明是否一個(gè)式子有意義或有意思,在邏輯語(yǔ)言語(yǔ)義(Semantic)中我們引入(Interpretation)解釋(記作I)
在邏輯語(yǔ)言語(yǔ)義(Semantic)中 我們用一個(gè)解釋（Interpretation）I 賦予一個(gè)式子(formula)以意思，

一個(gè)解釋I在語(yǔ)言集合L中是這樣定義的:

1) 解釋I必須有一個(gè)非空（領(lǐng)）域做為解釋的基礎(chǔ)，用符號(hào)D來(lái)表示, 比如我們說(shuō)用全體自然數(shù)集合來(lái)作位解釋I的域來(lái)解析分析一個(gè)由語(yǔ)言集合L中的元素組成的式子(formula)
2) 解釋I是一個(gè)聯(lián)系函數(shù)，他的定義如下:

1) 語(yǔ)言集合中的常數(shù)a I(a) 屬于解釋I的域，記作 I(a) = Ia 且 Ia 屬于 D
2) 對(duì)于函數(shù)f(t1,t2,......tn)， If 是從 Dn*Dn*Dn.....Dn（N個(gè)Dn） 到 Dn 的映射,其中Dn分別是t1,.....,tn和f域
3) 對(duì)于邏輯命題P Ip 是{True,False}中的一個(gè)元素， 也就是所命題邏輯的結(jié)果要么是真命題（記作 T），要么是假命題(記作 F)
4) 對(duì)于謂詞邏輯P(t1,.......tn) Ip 是一個(gè)從 Dn*Dn*.......*Dn(N個(gè)Dn) 到 {True , False} 的映射 其中Dn是每個(gè)項(xiàng)ti（i=1,2,......n）的解釋域

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