極限

極限思想在古希臘的窮竭法和中國古代的割圓術(shù)中已經(jīng)萌芽。在牛頓的微積分中也含有極限思想。但是，直到19世紀(jì)初，人們對極限的理解還沒有擺脫幾何直觀。只是到了1821年，法國數(shù)學(xué)家A.L.柯西才把極限概念建立在算術(shù)的基礎(chǔ)上。他把極限定義為：若變量的一串?dāng)?shù)值無限地趨向某一定值時(shí)，其差可以隨意地小，則該定值稱為這一串?dāng)?shù)值的極限。19世紀(jì)70年代，德國的K.魏爾施特拉斯等人在數(shù)學(xué)分析的算術(shù)化過程中，進(jìn)一步用"ε-N"語言更精確地把極限概念表述為：如果序列x₁,x₂,...x_n,...對于任意給定的無論怎樣小的正數(shù)ε，總存在一個(gè)正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式ㄧx_n-aㄧ<ε恒成立，則稱數(shù)a為該序列的極限。
極限概念體現(xiàn)了有限與無限的對立統(tǒng)一關(guān)系。序列x₁，x₂，...x_n,...是由無限多個(gè)有限值組成的，并且在收斂的條件下，存在著有限的極限值。這說明了無限包含著有限，并且在一定條件下，可以向有限轉(zhuǎn)化；另一方面，有限又包含著無限，在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化為無限，并通過無限表現(xiàn)自身。這一點(diǎn)在函數(shù)f(x)的級數(shù)展開式

求得。這表明極限概念具有重要的方法論意義。

極限

數(shù)列的定義

一個(gè)定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)yn=f(n)(稱為整標(biāo)函數(shù))，當(dāng)自變量n按正整數(shù)1，2，3…依次增大的順序取值時(shí)，函數(shù)值按相應(yīng)的順序排成一串?dāng)?shù)：f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…稱為一個(gè)無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，f(n)稱為數(shù)列的一般項(xiàng)。

數(shù)列的極限

如果對于任意給定的正數(shù)c，總存在一個(gè)正整數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，