BCH碼

本原循環(huán)碼是一類重要的碼。漢明碼、BCH碼和某些大數(shù)邏輯可譯碼都是本原碼。本原碼的特點是:

1、碼長為2^m - 1，m為整數(shù)。

2、它的生成多項式由若干m階或以m的因子為最高階的多項式相乘構(gòu)成。

要判斷循環(huán)碼是否存在，只需判斷階生成多項式是否能由的因式構(gòu)成。

代數(shù)理論告訴我們，每個m階既約多項式一定能除盡。例如，m=5，共有6個5階既約多項式：

這6個多項式都能除盡。且必定是的因式。

若循環(huán)碼的生成多項式具有如下形式：

，這里t為糾錯個數(shù)，為最小多項式，LCM表示取最小公倍式，則由此生成的循環(huán)碼稱之為BCH碼。該碼是以三個發(fā)現(xiàn)者博斯（Bose）、查德胡里（Chaudhuri）和霍昆格姆（Hocquenghem）名字的開頭字母命名的。其最小碼距dmin≥2t＋1，能糾t個錯誤。BCH的碼長為n＝或的因子。碼長為n＝的BCH碼稱為本原BCH碼。碼長為因子的BCH碼稱為非本原BCH碼。對于糾t個錯誤的本原BCH碼，其生成多項式為。糾正單個錯誤的本原BCH碼就是循環(huán)漢明碼。

下面介紹幾種常見的BCH碼。

1、戈雷碼（Golay）

（23，12）碼是一個特殊的非本原BCH碼，稱為戈雷碼，它的最小碼距7，能糾正3個錯誤，其生成多項式為。它也是目前為止發(fā)現(xiàn)的唯一能糾正多個錯誤的完備碼。

2、擴展形式

實際應(yīng)用中，為了得到偶數(shù)碼長，并增加檢錯能力，可以在BCH碼的生成多項式中乘D+1，從而得到（n+1，k+1）擴展BCH碼。擴展BCH碼相當于將原有BCH碼再加上一位的偶校驗，它不再有循環(huán)性。

3、縮短形式

幾乎所以的循環(huán)碼都存在它另一種縮短形式。實際應(yīng)用中，可能需要不同的碼長不是或它的因子，我們可以從碼中挑出前s位為0的碼組構(gòu)成新的碼，這種碼的監(jiān)督位數(shù)不變，因此糾錯能力保持不變，但是沒有了循環(huán)性。

BCH碼的譯碼方法可以有時域譯碼和頻域譯碼兩類。頻移譯碼是把每個碼組看成一個數(shù)字信號，把接受到的信號進行離散傅氏變換(DFT)，然后利用數(shù)字信號處理技術(shù)在“頻域”內(nèi)譯碼，最后進行傅氏反變換得到譯碼后的碼組。時域譯碼則是在時域直接利用碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)進行譯碼。BCH的時域譯碼方法有很多，而且糾多個錯誤的BCH碼譯碼算法十分復(fù)雜。常見的時域BCH譯碼方法有彼得森譯碼、迭代譯碼等。BCH的彼得森譯碼基本過程為：1、用的各因式作為除式，對接收到的碼多項式求余，得到t個余式，稱為“部分校驗式”。2、用t個部分校驗式構(gòu)造一個特定的譯碼多項式，它以錯誤位置數(shù)為根。3、求譯碼多項式的根，得到錯誤位置。4、糾正錯誤。具體內(nèi)容可參閱參考資料[2]的第357－359頁。

事實上，BCH碼是一種特殊的循環(huán)碼，因此它的編碼器不但可以象其它循環(huán)碼那樣用除法器來實現(xiàn)，而且原則上所有適合循環(huán)碼譯碼的方法也可以用于BCH碼的譯碼。

RS碼是Reed-Solomon碼（理德－所羅門碼）的簡稱，它是一類非二進制BCH碼，在RS碼中，輸入信號分成k