BCH碼

本原循環(huán)碼是一類重要的碼。漢明碼、BCH碼和某些大數(shù)邏輯可譯碼都是本原碼。本原碼的特點(diǎn)是:

1、碼長(zhǎng)為2^m - 1，m為整數(shù)。

2、它的生成多項(xiàng)式由若干m階或以m的因子為最高階的多項(xiàng)式相乘構(gòu)成。

要判斷循環(huán)碼是否存在，只需判斷階生成多項(xiàng)式是否能由的因式構(gòu)成。

代數(shù)理論告訴我們，每個(gè)m階既約多項(xiàng)式一定能除盡。例如，m=5，共有6個(gè)5階既約多項(xiàng)式：

這6個(gè)多項(xiàng)式都能除盡。且必定是的因式。

若循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式具有如下形式：

，這里t為糾錯(cuò)個(gè)數(shù)，為最小多項(xiàng)式，LCM表示取最小公倍式，則由此生成的循環(huán)碼稱之為BCH碼。該碼是以三個(gè)發(fā)現(xiàn)者博斯（Bose）、查德胡里（Chaudhuri）和霍昆格姆（Hocquenghem）名字的開(kāi)頭字母命名的。其最小碼距dmin≥2t＋1，能糾t個(gè)錯(cuò)誤。BCH的碼長(zhǎng)為n＝或的因子。碼長(zhǎng)為n＝的BCH碼稱為本原BCH碼。碼長(zhǎng)為因子的BCH碼稱為非本原BCH碼。對(duì)于糾t個(gè)錯(cuò)誤的本原BCH碼，其生成多項(xiàng)式為。糾正單個(gè)錯(cuò)誤的本原BCH碼就是循環(huán)漢明碼。

下面介紹幾種常見(jiàn)的BCH碼。

1、戈雷碼（Golay）

（23，12）碼是一個(gè)特殊的非本原BCH碼，稱為戈雷碼，它的最小碼距7，能糾正3個(gè)錯(cuò)誤，其生成多項(xiàng)式為。它也是目前為止發(fā)現(xiàn)的唯一能糾正多個(gè)錯(cuò)誤的完備碼。

2、擴(kuò)展形式

實(shí)際應(yīng)用中，為了得到偶數(shù)碼長(zhǎng)，并增加檢錯(cuò)能力，可以在BCH碼的生成多項(xiàng)式中乘D+1，從而得到（n+1，k+1）擴(kuò)展BCH碼。擴(kuò)展BCH碼相當(dāng)于將原有BCH碼再加上一位的偶校驗(yàn)，它不再有循環(huán)性。

3、縮短形式

幾乎所以的循環(huán)碼都存在它另一種縮短形式。實(shí)際應(yīng)用中，可能需要不同的碼長(zhǎng)不是或它的因子，我們可以從碼中挑出前s位為0的碼組構(gòu)成新的碼，這種碼的監(jiān)督位數(shù)不變，因此糾錯(cuò)能力保持不變，但是沒(méi)有了循環(huán)性。

BCH碼的譯碼方法可以有時(shí)域譯碼和頻域譯碼兩類。頻移譯碼是把每個(gè)碼組看成一個(gè)數(shù)字信號(hào)，把接受到的信號(hào)進(jìn)行離散傅氏變換(DFT)，然后利用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)在“頻域”內(nèi)譯碼，最后進(jìn)行傅氏反變換得到譯碼后的碼組。時(shí)域譯碼則是在時(shí)域直接利用碼的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行譯碼。BCH的時(shí)域譯碼方法有很多，而且糾多個(gè)錯(cuò)誤的BCH碼譯碼算法十分復(fù)雜。常見(jiàn)的時(shí)域BCH譯碼方法有彼得森譯碼、迭代譯碼等。BCH的彼得森譯碼基本過(guò)程為：1、用的各因式作為除式，對(duì)接收到的碼多項(xiàng)式求余，得到t個(gè)余式，稱為“部分校驗(yàn)式”。2、用t個(gè)部分校驗(yàn)式構(gòu)造一個(gè)特定的譯碼多項(xiàng)式，它以錯(cuò)誤位置數(shù)為根。3、求譯碼多項(xiàng)式的根，得到錯(cuò)誤位置。4、糾正錯(cuò)誤。具體內(nèi)容可參閱參考資料[2]的第357－359頁(yè)。

事實(shí)上，BCH碼是一種特殊的循環(huán)碼，因此它的編碼器不但可以象其它循環(huán)碼那樣用除法器來(lái)實(shí)現(xiàn)，而且原則上所有適合循環(huán)碼譯碼的方法也可以用于BCH碼的譯碼。

RS碼是Reed-Solomon碼（理德－所羅門碼）的簡(jiǎn)稱，它是一類非二進(jìn)制BCH碼，在RS碼中，輸入信號(hào)分成k