離散傅里葉變換

目錄
·從連續(xù)到離散
·DFT與CT
·DFT與DTFT
·從空間的角度分析
·DFT與圓周卷積
·性質
·應用
·參閱










離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，縮寫為DFT），是傅里葉變換在時域和頻域上都呈離散的形式，將信號的時域采樣變換為其DTFT的頻域采樣。在形式上，變換兩端（時域和頻域上）的序列是有限長的，而實際上這兩組序列都應當被認為是離散周期信號的主值序列。即使對有限長的離散信號作DFT，也應當將其看作其周期延拓的變換。在實際應用中通常采用快速傅里葉變換計算DFT。
下面給出離散傅里葉變換的變換對：
對于N點序列，它的離散傅里葉變換（DFT）為
其中e 是自然對數的底數，i 是虛數單位。通常以符號表示這一變換，即
離散傅里葉變換的逆變換（IDFT）為：
可以記為：
實際上，DFT和IDFT變換式中和式前面的歸一化系數并不重要。在上面的定義中，DFT和IDFT前的系數分別為1 和1/N。有時會將這兩個系數都改成。





從連續(xù)到離散

連續(xù)時間信號x(t) 以及對應的連續(xù)傅里葉變換都是連續(xù)函數。由于數字系統(tǒng)只能處理有限長的離散信號，因此必須將x和都離散化，并且建立對應的傅里葉變換。
假設x(t)時限于[0, L]，再通過時域采樣將x(t)離散化，就可以得到有限長離散信號，記為x_discrete(t)。設采樣周期為T，則時域采樣點數N=L/T。

它的傅里葉變換為

這就是x(t)在時域采樣后的連續(xù)傅里葉變換，也就是離散時間傅里葉變換，它在頻域依然是連續(xù)的。
下面將頻域信號轉化為有限長離散信號。與對時域信號的處理類似，假設頻域信號是帶限的，再經過離散化，即可得到有限長離散信號。依據采樣定理，時域采樣若要能完全重建原信號，頻域信號應當帶限于(0,1/T)。由于時域信號時限于[0, L]，由采樣定理以及時頻對偶的關系，頻域的采樣間隔應為1/L。故，頻域采樣點數為：

即頻域采樣的點數和時域采樣同為N，頻域采樣點為 在DTFT頻域上采樣：

令T=1，將其歸一化，就得到前面定義的離散傅里葉變換。因此，DFT就是先將信號在時域離散化，求其連續(xù)傅里葉變換后，再在頻域離散化的結果。



DFT與CT

參見連續(xù)傅里葉變換

下面考察離散傅里葉變換與連續(xù)傅里葉變換（CT，Continuous Fourier Transform）的關系。連續(xù)傅里葉變換
的采樣為：

將這個積分以黎曼和的形式近似，有：

這一結論指出離散傅里葉變換確實是連續(xù)傅里葉變換在某種意義上的近似。不過必須注意以下兩點：

時域采樣必須滿足采樣定理
離散傅里葉變換的處理對象是時限的

為此，通常對連續(xù)信號的時域采樣再做一次加窗處理（Windowing），這樣就得到帶限的有限長離散信號。



DFT與DTFT

參見離散時間傅里葉變換
離散時間傅里葉變換（DTFT）是在時域上對連續(xù)傅里葉變換的采樣。DFT則是在頻域上對DTFT的均勻采樣。離散信號x[n]（n=0,...,N-1）的DTFT為：
對在離散的頻點上采樣
即為x 的DFT。由于DTFT在頻域是周期的，所以在DTFT頻域上的均勻采樣也應是周期的。實際上是這個周期序列的主值序列。

柵欄效應
N 點序列的DFT只能在有限的N個頻點上觀察頻譜，這相當于從柵欄的縫隙中觀察景色，對于了解信號在整個頻域上的特性是不夠的。為了觀察到其他頻率的信息，需要對原信號x[n]做一些處理，以便在不同的頻點上采樣。
將原來在DTFT頻域上的采樣點數增加到M 點，這樣采樣點位置變?yōu)椤t對應的DFT成為
若在序列x[n] 之后補上M-N個零，設為x&＃39;&＃39;&＃39;&＃39;[n]，則上式變?yōu)?BR>
因此將x[n]補零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他頻率上的值，相當于移動了柵欄，因而能夠從其他位置進行觀察。

頻譜分辨率
N 點DFT的頻譜分辨率是2π / N。柵欄效應一節(jié)指出可以通過補零觀察到更多的頻點，但是這并不意味著補零能夠提高真正的頻譜分辨率。這是因為x[n] 實際上是x(t) 采樣的主值序列，而將x[n]補零得到的x&＃39;&＃39;&＃39;&＃39;[n] 周期延拓之后與原來的序列并不相同，也不是x(t) 的采樣。因此與是不同離散信號的頻譜。對于補零至M點的x&＃39;&＃39;&＃39;&＃39;的DFT，只能說它的分辨率2π / M僅具有計算上的意義，并不是真正的、物理意義上的頻譜。頻譜分辨率的提高只能在滿足采樣定理的條件下增加時域采樣長度來實現(xiàn)。


從空間的角度分析

周期為N的離散信號構成一個N 維歐氏空間。在這一空間上兩個信號x 和y 的內積定義為
下面給出上的一組正交基：
將信號x 在這組正交基上分解，得
令
此即為離散傅里葉變換。又

則有

此即為離散傅里葉變換的逆變換。
由此可知，在正交分解的角度上說，離散周期信號x的離散傅里葉變換實質上是x在正交基{e_k}上的分量。而從線性變換的角度上說，{e_k}是圓周卷積的特征向量，則是對應的特征值。


DFT與圓周卷積

根據卷積定理，離散信號x與y的圓周卷積對偶于頻域上x與y離散傅里葉變換的乘積。下面揭示DFT與圓周卷積的內在關系。
對長為N的離散信號與，如果要計算它們的卷積，就必須定義與在0≤n<N 之外的值。如果將與作周期為N的延拓，則有
如此，周期為N的圓周卷積：
卷積的結果仍然是以N為周期的離散信號。
前面指出，e_k是DFT的特征向量，實際上它也是圓周卷積的特征向量。定義x與y的圓周卷積算子：
則e_k與y的圓周卷積為

顯然，y的DFT

就是圓周卷積的特征值。


性質


完全性
離散傅里葉變換是可逆的線性變換

其中C表示復數集。即，任意N-維復向量都存在DFT和IDFT，而且其DFT和IDFT也是N-維復向量。

正交性
向量組exp(2πi kn/N)是N-維復數空間上的一組正交基：

其中 δ_kn是Kronecker delta。

移位定理
時域信號序列x_n的相位移動exp(2πinm / N)（其中m為整數）在頻域反映為“循環(huán)移位”，即：頻域信號序列X_k變?yōu)椋渲邢聵耸侵笇-m 對N 取余。類似的，由對偶性，時域信號序列的循環(huán)移位對應于頻域信號序列的相移：
若則
且有

周期性
上文中DFT與DTFT一節(jié)已經證明，離散序列的傅里葉變換是周期的。有限長序列x_n的離散傅里葉變換X_k可以被看作是它的周期延拓序列的離散時間傅里葉變換。由時頻對偶性可知X_k也可以被看作它的周期延拓的主值。
上一節(jié)的移位定理隱含著DFT的周期性，因為DFT的幅度 | X_k | 不受輸入信號的循環(huán)移位的影響，因為時移在頻域對偶于相移，循環(huán)移位僅僅使DFT的相位產生平移。周期性的邊界條件在DFT的許多應用中有重要作用。解差分方程時，就假設邊界條件是滿足周期性的，這是一個很有用的性質（參見應用）。

Plancherel定理與Parseval定理
如果 X_k 和 Y_k 分別是 x_n 和 y_n 的離散傅立葉變換，那么就有 Plancherel 定理：
其中星號表示復共扼。Parseval定理 是 Plancherel 定理的一個特例：




應用

DFT在諸多多領域中有著重要應用，下面僅是頡取的幾個例子。需要指出的是，所有DFT的實際應用都依賴于計算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法，即快速傅里葉變換。

快速傅里葉變換

主條目：快速傅里葉變換

快速傅里葉變換（即FFT）是計算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法。按照DFT的定義計算一個長為n的序列的DFT需要的計算復雜度達到了，而同樣長度FFT的計算復雜度僅為。由于DFT的逆變換可以由DFT表示，所以DFT逆變換的計算同樣可以由FFT完成。FFT算法的提出，使DFT得到了廣泛的實際應用。

頻譜分析
前面指出，DFT是連續(xù)傅里葉變換的近似。因此可以對連續(xù)信號x(t)均勻采樣并截斷以得到有限長的離散序列，對這一序列作離散傅里葉變換，可以分析連續(xù)信號x(t)頻譜的性質。前面還提到DFT應用于頻譜分析需要注意的兩個問題：即采樣可能導致信號混疊和截斷信號引起的頻譜泄漏。可以通過選擇適當的采樣頻率（見奈奎斯特頻率）消減混疊。選擇適當的序列長度并加窗可以抑制頻譜泄漏。

數據壓縮

主條目：數據壓縮
由于人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點將語音、音頻、圖像、視頻等信號的高頻部分除去。高頻信號對應于信號的細節(jié)，濾除高頻信號可以在人類感官可以接受的范圍內獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過離散傅里葉變換完成的。將時域或空域的信號轉換到頻域，僅儲存或傳輸較低頻率上的系數，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號。

解偏微分方程
主條目：偏微分方程

離散傅里葉變換及其多維形式在偏微分方程的求解中也有應用。此時DFT被看作傅里葉級數的近似。傅里葉級數將函數在復指數einx上展開,這正是微分算子的特征方程：d/dx einx = in einx。因此，通過傅里葉級數的形式，線性常微分方程被轉換為代數方程，而后者是很容易求解的。此時得到的結果是偏微分方程解的級數表示，只要通過DFT逆變換即可得到其一般表示。這種方法被稱作譜方法或級數解法。

長整數與多項式乘法
目前長整數或多項式乘法最快速的算法是基于離散傅里葉變換的。由于整數（或多項式）乘法是逐位（或逐項）乘累加的形式，因此整數（或多項式）乘積的數字（或系數）可以用乘數數字（或乘式系數）的卷積表示。利用卷積定理，只要將數字（或系數）序列通過離散傅里葉變換變到頻域，就可以將逐個乘累加的卷積變?yōu)閷ξ坏某朔�，從而減少計算量，再以一次逆變換便可以得到乘法結果。需要注意整數乘法還有進位的問題。下面以多項式乘法為例說明這一應用：
假設需要計算多項式乘法c(x) = a(x) · b(x)，這一乘積結果的各項系數的表達式實際上是線性卷積的形式。由于離散傅里葉變換對應于圓周卷積，因此需要將這兩個乘式的系數按照次數升序排列，序列后“補零”，使它們的長度d 大于兩式最高項次數的和：d > deg(a(x)) + deg(b(x))。然后作圓周卷積：

其中c 就是c(x) 系數的向量。由于圓周卷積的DFT是乘積，有：

則

利用快速傅里葉變換，這一算法的運算復雜度為 。

OFDM

主條目：OFDM
OFDM（正交頻分復用）在寬帶無線通信中有重要的應用。這種技術將帶寬分為N個等間隔的子載波，可以證明這些子載波相互正交。尤其重要的是，OFDM調制可以由IDFT實現(xiàn)，而解調可以由DFT實現(xiàn)。OFDM還利用DFT的移位性質，在每個幀頭部加上循環(huán)前綴（Cyclic Prefix），使得只要信道延時小于循環(huán)前綴的長度，就能消除信道延時對傳輸的影響。


參閱


傅里葉級數
傅里葉變換
快速傅里葉變換
數字信號處理
Chirp-Z 變換

• 通信詞典解釋