光子晶體缺陷模研究

朱志宏  葉衛(wèi)民  季家镕  
（國(guó)防科技大學(xué)理學(xué)院光子聲子研究中心，長(zhǎng)沙，410073）

    課題來(lái)源（基金資助）：973國(guó)家安全重大基礎(chǔ)研究項(xiàng)目

摘要:將時(shí)域有限差分方法（FDTD）用于光子晶體缺陷模理論研究，計(jì)算了二維方型光子晶體TM模透射率頻率分布；根據(jù)光子晶體的標(biāo)度不變性特征，在微波頻段制作了光子晶體，并設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)裝置；實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果取得了一致；結(jié)果表明：有缺陷模產(chǎn)生，缺陷模的位置與缺陷的大小和種類有關(guān)。

關(guān)鍵詞   光子晶體，光子禁帶，時(shí)域有限差分，缺陷模

1   引言

在過(guò)去的幾年中，光子晶體（photonic  crystals）[1-2]因其具有控制光子的運(yùn)動(dòng)的能力而備受關(guān)注[3]。它其實(shí)可以理解為就是一種周期性電介質(zhì)。在周期性電介質(zhì)材料中，光的色散曲線明顯地不同于均勻電介質(zhì)中的光的色散曲線，其中存在類似于半導(dǎo)體禁帶的“光子禁帶”（photonic band gap）[4-5]；如果光的頻率在禁帶范圍內(nèi)，則它不能在介質(zhì)中傳播。光子晶體的非凡的本領(lǐng)正是由于這個(gè)禁帶的存在。

當(dāng)在光子晶體中引入點(diǎn)缺陷后，由于這些點(diǎn)缺陷對(duì)原有的空間對(duì)稱性產(chǎn)生微擾，形成一個(gè)微腔，微腔有自己的共振頻率，使得原來(lái)不透電磁波的禁帶中出現(xiàn)了共振模,即某一波長(zhǎng)的電磁波可以透過(guò)。本文將時(shí)域有限差分方法（FDTD）[6-7]作為光子晶體缺陷模理論研究的工具，以二維方型方型光子晶體TM模為研究對(duì)象，給出了一些模擬計(jì)算結(jié)果。FDTD方法能夠很直觀地給出精確的結(jié)果，因?yàn)樗�是直接�?duì)麥克斯韋方程進(jìn)行離散處理，沒(méi)有過(guò)多可能導(dǎo)致計(jì)算誤差的假設(shè)，它能處理任意幾何形狀的光子晶體，它的另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是可以通過(guò)傅立葉變換，一次計(jì)算出包含很大頻率范圍的結(jié)果。我們還設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)，用FDTD方法得出的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)一致。

２ 理論部分

２．１  光子晶體中的麥克斯韋方程
光子晶體的理論研究問(wèn)題，可以歸結(jié)為光在光子晶體中的傳播問(wèn)題，于是可以由宏觀麥克斯韋方程組來(lái)求解。

２．２  時(shí)域有限差分方法
用FDTD方法求解上面的麥克斯韋方程組的具體方法是：將其在直角坐標(biāo)系中展開(kāi)成標(biāo)量場(chǎng)分量的方程組，然后用二階精度的數(shù)值差商代替微商，將連續(xù)的空間和時(shí)間問(wèn)題離散化，得到標(biāo)量場(chǎng)分量的差分方程組；由數(shù)值色散關(guān)系和我們所關(guān)心的光波長(zhǎng)大小來(lái)確定空間離散步長(zhǎng)的大小，進(jìn)而用此空間步長(zhǎng)將我們所要研究的光子晶體沿坐標(biāo)軸向方向分成很多Yee氏網(wǎng)格單元；求出每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的有效介電常數(shù)；由空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)所滿足的數(shù)值穩(wěn)定性條件關(guān)系，得出相應(yīng)的時(shí)間步長(zhǎng)。

2．3  邊界條件
 我們用時(shí)域有限差分方法研究光子晶體的傳輸特性時(shí)，我們關(guān)心的計(jì)算區(qū)域是有限的，它就是光子晶體的體積所占有的空間；當(dāng)然我們也可以將我們關(guān)心的計(jì)算區(qū)域通過(guò)一定的方式無(wú)限擴(kuò)展，形成一個(gè)無(wú)限的空間，但是，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)空間和計(jì)算速度卻不是無(wú)限的；所以，總之，我們要處理的問(wèn)題空間是有限的，是有邊界的。但是，用時(shí)域有限差分求解電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)假定問(wèn)題空間是無(wú)限大的，即是開(kāi)放的系統(tǒng)。這就產(chǎn)生了矛盾，為了解決這種矛盾，也就是為了讓這種有限的空間和無(wú)限的空間等效，需要對(duì)有限空間的周圍邊界做特殊處理，使得向邊界行進(jìn)的波在邊界處保持“外向行進(jìn)”的特征，無(wú)明顯的反射，就象被一個(gè)巨大的“黑洞”吸收一樣。具有這種功能的邊界條件，稱之為吸收邊界條件。在我們的計(jì)算程序中，由于是正入射，我們使用的是對(duì)正入射有較高精度的Mur二階吸收邊界條件[8]。

3   實(shí)驗(yàn)裝置

      為了驗(yàn)證二維光子晶體FDTD理論計(jì)算的結(jié)果，根據(jù)光子晶體的標(biāo)度不變性特征，我們?cè)O(shè)計(jì)了如圖2所示的微波實(shí)驗(yàn)裝置，它由自動(dòng)微波矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀HP8510C.07.00（ANA）、微波發(fā)射和接受天線以及實(shí)驗(yàn)平臺(tái)組成。

4 結(jié)果與分析

 用普通燈工二氧化硅玻璃圓柱作為實(shí)驗(yàn)樣品，其相對(duì)介電常數(shù)為4.55，直徑為 mm，用有機(jī)玻璃架固定在空氣（相對(duì)介電常數(shù)為1.00）中，組成二維方形光子晶體樣品，晶格常數(shù)為 mm。 圖2.a所示的是二維線缺陷方型光子晶體，以TM模（電場(chǎng)方向平行于介質(zhì)柱軸方向）為研究對(duì)象,當(dāng)TM模脈沖源沿圖中箭頭位置和方向入射到光子晶體上時(shí)，光子晶體透射率頻率分布的FDTD理論計(jì)算結(jié)果（不考慮色散）和實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2.b所示，從圖2.b上可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果相吻合，在5.2GHz處有缺陷模產(chǎn)生。

當(dāng)TM模脈沖源沿圖3中箭頭位置和方向入射到光子晶體上時(shí)，光子晶體透射率頻率分布的FDTD理論計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，從圖4上也可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果相吻合，在5.5GHz處有缺陷模產(chǎn)生。

當(dāng)TM模脈沖源沿圖5中箭頭位置和方向入射到光子晶體上時(shí)，光子晶體透射率頻率分布的FDTD理論計(jì)算結(jié)果如圖6所示，理論結(jié)果表明，在6.35GHz處同樣有缺陷模產(chǎn)生。

由上面的理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出結(jié)論：當(dāng)在光子晶體中引入缺陷時(shí)，由于這些缺陷對(duì)原有的空間對(duì)稱性產(chǎn)生微擾，在原來(lái)電磁波對(duì)光子晶體不透明的禁帶中，會(huì)有缺陷模產(chǎn)生，缺陷模的位置與缺陷的大小和種類有關(guān)。

缺陷模的產(chǎn)生有現(xiàn)實(shí)的意義，比如可以實(shí)現(xiàn)光波的“上載”和“下載”，設(shè)計(jì)如圖7所示的一個(gè)簡(jiǎn)單光子晶體結(jié)構(gòu)，當(dāng)寬頻入射光（TM模）從如圖7所示波導(dǎo)口入射時(shí)，得到波導(dǎo)出口處透射率頻率分布如圖8所示。 圖8中的透射率頻率分布曲線表明處于光子晶體禁帶范圍內(nèi)的光能夠沿著線缺陷形成的波導(dǎo)傳播，同時(shí)由于波導(dǎo)與微腔的耦合，頻率在6.35GHz處的光波能量被“下載”到了微腔里，被“下載”的光的頻率正是點(diǎn)缺陷所形成的微腔的缺陷模頻率6.35GHz（如圖6所示）。設(shè)計(jì)不同結(jié)構(gòu)的微腔，可以下載不同頻率成分的波，圖9中設(shè)計(jì)了一個(gè)包含有較強(qiáng)耦合作用的兩個(gè)點(diǎn)缺陷的微腔，從圖10可以看出，此結(jié)構(gòu)能得到兩個(gè)分別為 6.14GHz和6.5GHz的窄頻信號(hào)。

結(jié)論

本文將時(shí)域有限差分法（FDTD）用于光子晶體缺陷模理論研究，計(jì)算了二維方型光子晶體的透射率頻率分布，并設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果相一致：有缺陷模產(chǎn)生，缺陷模的位置與缺陷的大小和種類有關(guān)。缺陷模的產(chǎn)生有很重要的意義，例如可以實(shí)現(xiàn)光波的“上載”和“下載”等等。

參考文獻(xiàn)
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[3]  JD Joannopoulos, RD Meade, and JN Winn, Photonic Crystals: Molding the Flow of
 Light(Princeton University Press, Princeton, NJ, 1995).
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[7] Zhu Zhihong,Ye Weiming et al.., Yang Miao et al.., the characteristic properties of transmission research of 2-D photonic crystals using the Finite-Difference Time-domain(FDTD) method,Acta Optica Sinica(光學(xué)學(xué)報(bào)),2003，23（5）：509-514(in Chinese).
[8]  G. Mur, "Absorbing Boundary Conditions for the Finite-Difference Approximation of the Time Domain Electromagnetic Field Equations," IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility,1981,23(4):377-382.

            research of photonic crystals  defect modes

Zhu Zhihong   Ye Weimin  Yuan Xiaodong  Wang Hua
 (Research Center of Photon and Phonon, National University of Defense Technology,
Changsha  410073)

Abstract  The Finite-Difference Time-domain(FDTD) method is used for research the defect modes photonic crystals. Transmitted power of 2-D square lattice photonic crystals TM mode are given of the applicability of the method. As scaling properties of photonic crystals, the photonic crystal behaving in the electromagnetic zones is fabricated and experimentation is designed. The theoretical results achieve confirmation of the experimentation. Results show that the frequencies of defect modes relate to size and kind of the defect.
Key words  photonic crystals,  photonic bandgap, the Finite-Difference Time-domain(FDTD)，defect modes

第一作者姓名：朱志宏，1978年1月出生，國(guó)防科技大學(xué)光學(xué)工程專業(yè)博士，通信地址：長(zhǎng)沙國(guó)防科技大學(xué)光電學(xué)院博士生隊(duì)朱志宏，郵編：410073